「混合樣本」檢測加快篩檢

近日第三波新冠肺炎疫情爆發, 連續多日每天都增加超過100宗, 每區都有新增病例, 「梗有一單喺左近」, 為求安心, 一般市民都希望能有全民檢測, 盡早知道自己或家人有沒有受感染。但現時可能有大量樣本積壓, 一般起碼需要三天才有結果。

在整個篩檢過程中, 關鍵的步驟是在化驗的環節上, 收到多少個樣本, 就需要進行多少套化驗程序, 無法減省, 無法加快。 但其實可以在化驗的環節中使用「混合樣本」, 可以減省化驗程序, 更早得到檢測結果。

所謂「混合樣本」, 並不是新鮮事物, 據說在第二次世界大戰時, 為了防止流行病在軍隊中互相感染, 經常都要為軍人驗血和驗尿, 但在戰區中物質缺乏, 就將16人的樣本混合在一起化驗, 如果結果是陰性, 則16人都是陰性, 一次化驗, 得到16人的結果, 這是最理想、最高效率的情況。

如果混合樣本的結果是陽性, 則表示起碼有一個人有病了, 但不知道是誰。下一步是將16人分為A、B兩組, 每組8人, 再作「混合樣本」化驗, 如果A組是陰性, 則病人一定在B組中。再將B組分為B1、B2兩組, 每組4人, 再作「混合樣本」化驗, 如此類推, 如果16人之中只有一名病人, 最快經過5個化驗程序, 最多亦只是9個, 而不是16個就能找到, 大大提高效率和節省資源。當然, 這只是最理想的情況, 最壞的可能是16人都全部有病, 這種分組「混合樣本」化驗, 就需要31個化驗程序了, 比個別化驗多一倍, 但考慮到得病率不是如此高, 其實仍然是有著數。

上述的二分法, 並不是最有效率的, 如16人都全部有病, 較有效率的做法, 是當16人的混合樣本的結果是陽性時, 下一步就個別做化驗, 最多只是17個化驗程序而已。除此之外, 以16為一組的

混合樣本, 也未必是最理想, 這要視乎得病率而定。

若用此法, 假定需要接受檢測的人數為N, 得病率是P, 一個混合樣本中最高效率的樣本數目是S, 那麼全部混合樣本的數目 = N / S, 受感染的人數是 NxP, 假定最壞情況是每個混合樣本中只有一人受感染, 因而需要的化驗程序是 NxPx(S+1), 而一個化驗程序定陰性的混合樣本數目是    N / S – NxP, 那麼T是總共需要的化驗程序, 是二者加起來,

 T = N / S + NxPxS

視乎感染率或得病率, 混合樣本中最高效率的樣本數目會有不同, 以微積分很容易找出在感染率P時, 最高效率的S 的數值, 筆者的初步分析在下列表中: 

感染率P(%)	混合樣本數目 S
1	10
2	7
3	6
4	5
5 – 8	4
9	3
10	3

以香港需要全民7,000,000人做檢測, 若感染率是1%, S 是10, 需要1,400,000個化驗程序, 若感染率是5%, S 是4, 則需要3,150,000個, 節省超過一半; 若真的是去到10%, 也需要4,440,000, 節省超過三份之一以上。

少些化驗程序, 不單是節省資源, 更重要的是更快得到檢測結果, 更早阻斷傳染源頭。

夏至、小暑與遠日點

明天7月6日, 是農曆二十四節氣中的小暑, 小暑是夏至之後的第一個節氣, 兩者相差約十五天。有謂「小暑大暑, 有米懶煮」, 小暑之時, 最好是食西瓜、飲冬瓜水來消暑也。


同時在夏至之後的約兩星期, 地球運行到距離太陽最遠處, 是為遠日點, 昨天7月4日, 黃昏的7時11分, 地球到達今年的遠日點。


當地球處在遠日點時, 距離太陽平均為152,097,700公里, 亦即是說, 每年的距離都不一定一樣, 如今年的是152,095,295公里, 明年會比較遠, 是152,100,527公里, 三年後的2023年, 則比較近的152,093,251公里。


不但距離會有些變化, 遠日點的日子也會有差異, 每年約在7月5日左右, 但前後可有一、兩天的差異, 如明年會在7月6日, 2023年更是在7月7日。造成這個變化的主因, 是環繞著地球運轉的月亮, 雖然月球的重量只是地球的約80份之一, 但在萬有引力之下, 會令地球的重心不斷在環繞太陽的軌跡上變化著, 而出現遠日點日子的差異。


其實這一、兩天的小小差異, 只是我們有限人生所見到的現象而已。據天文學家發現, 約在公元1246年的前後, 遠日點是在夏至日上, 之後約以每58年向後移一天, 至今時今日的7月5日左右, 因而推算約在4500年之後, 遠日點會出現在秋分, 如是者, 遠日點有可能出現在一年中的每一日上, 而以每22000到26000年為一個循環。

話要說回來, 雖然我們現時的一代人不會見到遠日點的大變化, 但可以說我們是幸運的一代。試想地球有遠日點, 就會有相反的近日點, 以現時來說, 是在每年12月22日冬至之後約兩星期的1月4日左右, 地球平均距離太陽約147,100,000公里, 因為較近, 地球會比在遠日點時, 吸收多7%來自太陽的熱力。

同時, 在北半球的夏天時, 太陽直照北半球, 從世界地圖上可以看到, 北半球的陸地遠比南半球多, 而陸地又比海洋能吸收更多的熱量, 所以北半球夏天的溫度, 平均要比南半球的高約2.3度, 這已是因為遠日點在北半球的夏天, 試想如果近日點是在北半球的夏天, 會多7%來自太陽的熱量, 北半球將會更熱, 相反, 遠日點在南半球的冬天時將會更冷, 令地球出時更極端天氣的現象。所以, 現時遠日點在夏至之後的約兩星期, 已不算太壞了吧。

夏至適逢日環蝕

今天除了是今年的父親節之外, 亦是二十四節氣中的夏至, 更重要的, 是在中國的西南至東南部份, 可以觀看到日環蝕。筆者早已在兩年前的8月1日, 在另文中提到過今次的日環蝕, 福建的厦門是其中一個最理想的觀看地點, 有朋亦早已計劃了觀看的行程, 可惜基於現實情況, 不能成行。


今天的日環蝕, 是從非洲剛果的當地時間早上05:43開始, 橫越中非、中東、巴基斯坦、印度北部, 約在香港時間12:57進入西藏, 然後橫越中國的西南至東南部份, 約在下午14:44到達厦門出現初蝕, 約在下午16:10出現全日環蝕, 到下午17:22完全結束。


另一個理想觀看地點是台灣的台中, 整個過程從下午14:49 到17:25出現, 之後日環蝕進入西太平洋的無人地帶而結束。


我們在香港雖然看不到日環蝕, 但仍然可以在下午14:37 到 17:24看到日偏食, 蝕最深時約在下午16:08出現。


錯過了今次在中國境內能看到的日環蝕, 就要等到2034年3月20日的日全蝕了, 但出現的地方卻是在西藏和青海的上空, 因為地理和環境的關係, 相信亦會十分困難前往觀看。


回頭看看今天是夏至, 是一年中日最長、夜最短的日了, 在香港的日出時間是早上05:40, 日落是黃昏19:10, 相差13小時30分鐘, 是全年的日最長。但有趣的是, 今天夏至的日出不是最早, 日落也不是最遲。比05:40更早的日出, 是從6月1日至6月14日的05:38, 而比19:10更遲的日落, 是從6月26日至7月10日的19:11。


為何有兩個星期, 日落時間都會是19:11呢? 這是因為地球繞著太陽運行的軌跡, 是略為不對稱的橢圓形。因太陽對地球引力的影響, 在每年的一月時, 地球較為接近太陽, 運行得略為快; 相反地在七月時距離太陽較遠, 運行得略為慢 一點。以今年為例, 1月5日是地球最接近太陽, 而7月4日則離太陽最遠, 所以在此日之前後幾天, 日出與日落的時間變化不大了。

「復活節」日子的「定律」

今天是復活節, 朋友們普遍都表示, 如果不是因為疫情, 這個假期是一年之中, 最佳與家人外遊的機會, 加上前星期是清明節, 上班一族們只需拿幾天的年假, 就可享受十天的長假期, 好好充電。我告訴他們, 不用太介意, 明年2021年, 復活節與清明節也有類似的組合, 與今年所不同的, 是剛好相反, 復活節會在清明節的前一星期。


問題來了, 因為清明節是農曆二十四節氣之一, 所以每年都是在4月5日, 只是在四年一次的閏年時, 才會如今年一樣在4月4日。但是復活節的日子, 則是年年不同, 好像是沒有規律。現時因為有電腦程式、手機App等電子版萬年曆, 可以預知以後多年的假期, 不如二、三十年前, 在年尾時要等到下一年的日曆出版後, 才能計劃新一年的假期。


復活節的日子, 好像是沒有「規律」, 但其實是有一個很簡單的「定律」: 春分當日或之後的第一個月圓之後的星期日, 就是復活節。


「定律」看來很簡單, 最簡單的部份, 是復活節一定是在星期日, 但組合起來 就十分變化多端了。


首先是春分, 每年都是在3月21日, 在四年一次的閏年時, 則在3月20日。

第二是「月圓」。如果以農曆來看, 可以簡單地以「十五」視為月圓之夜, 但這只是一個粗略的計算, 很多時候, 「月圓」其實是在「十四」或「十六」。如果月圓」在「十四」而剛好在星期六, 「十五」在星期日, 會誤把復活節算定遲了一個星期。相反地, 如果月圓」在「十六」而在星期日, 「十五」在星期六, 又會把復活節定早了一個星期。所以實際上的計算法, 還是根據天文學計算出的「月圓」時間, 來決定復活節的日子。


就是這個簡單的「定律」, 在由1900年到2100年的200年中, 復活節的日子都沒出現過「疑似」的規律。不過, 復活節的日子雖然飄忽不定, 但根據天文學的計算, 最早會在3月22日, 最遲會在4月25日。


最早的3月22日的復活節, 我們現存在世的人, 兩次都無緣經歷, 上一次是在1818年, 下一次則要到2285年了。因為兩次都不是閏年, 春分一定是在3月21日, 是月圓, 又是星期六, 所以翌日3月22日星期日才是復活節。


與最早的復活節不同, 最遲的復活節上一次是在1943年, 雖然是在第二次世界大戰期間, 但相信不少曾經歷的人都仍在世上；而下一次的, 更相信我們絕大部份人都有機會經歷到, 就是在不太遠的2038年了。


個人曾經歷過最有趣的復活節與清明節的組合, 是在1988年, 復活節是在4月3日, 翌日4月4日星期一也是假期, 但因為那年是閏年, 清明節也是有4月4日星期一, 所以4月5日星期二補假一天, 形成罕有的連續5天公眾假期, 當年利用該罕有機會作短線出遊者甚眾, 在4月1日星期五那天, 即復活節假期的開始, 在當年的啟德機場內簡直人山人海, 水洩不通。


此罕有機會, 可一不可再, 最接近的, 是在2023年和2029年, 但復活節與清明節還都要相隔一天。

今年的「超級月亮」

今天4月7日, 是農曆三月十五日, 不是甚麼節日或特別的日子, 是如每個十五日的晚上一樣, 是月圓之夜, 但所不同者, 是在今晚(嚴格來說, 是4月8日的凌晨0時09分, 農曆三月十六日的子時), 出現今年的「超級月亮」, 那時是今年中月亮離我們的地球最近, 距離是356,913公里, 亦即是我們見到今年中最大、最光的月亮。不過, 大家能否看到, 還是視乎今晚的天氣而定。


月亮會是「時大時細」的嗎? 答案: 「是」。原因有幾個。


首先, 月亮環繞地球運行的軌道是一個稍微的橢圓形, 兩軸相差約0.15%, 加上地球不是在這橢圓的正中心, 那就令月球距離地球「時遠時近」。


第二是: 月球並不是「堅守崗位」的, 他的運行軌道是不斷的隨著月球環繞地球的方向而轉動, 但也有一個規律, 就是約每隔8年310日會「返回原位」一次。


還有, 月球環繞地球運行的軌道的平面, 與地球的赤道平行, 傾斜約5度, 亦即是在每個月中, 當月球環繞地球一次, 約有一半時間是偏在北半球, 而另一半時間則偏在南半球。若當月球距離地球最遠時, 剛好又偏在南半球, 身處北半球的我們, 就會看到最小的月亮, 而當月球距離地球最近時, 剛好又偏在北半球, 我們就會看到最大的月亮。


綜合上述的幾點, 月球在運行中會離地球時遠時近, 最近時, 是356,375公里, 而最遠時則是406,720公里。令我們看到的月亮就會是「時大時細」, 但「月有陰晴圓缺」, 我們只能在月圓時, 才能最清楚看到月亮,  否則即使月球距離地球最近, 碰巧是農曆三十或初一, 也看不到月亮。可幸的是, 今晚的月亮離我們最近, 剛好又是在月圓之夜, 比可能看到最大的月亮, 只相差0.23%。


其實在2016年11月14日, 曾出現過一次「超級月亮」, 那時月球離地球是356,512公里, 比今晚可以見到的還要大0.22%。


大家如果錯過了今晚的機會, 下一次就要等到2034年11月25日的十月十五了, 到時月球距離地球會更為接近, 約為356500公里, 應該是更「超級」, 比最大可能的月亮, 只相差0.07%而已! 但是世事難料, 還是活在當下, 好好掌握目前吧!

行多少才夠健康

這幾天從不同的群組中收到兩個矛盾的消息。一位多年朋友, 已退休, 上星期被醫生強制訂立「新年計劃」, 就是每天都要運動。另一則是, 在「八大長壽習慣」中, 運動竟然是排行最尾!?

朋友是專業人仕, 在職場生涯的初階時, 因工作需要, 還得經常到戶外走走, 但隨著經驗增加, 工作環境漸轉為全在室內, 雖然間中亦需外出, 都只是開會或應酬。他素來是識飲識食又識歎, 卻不喜歡運動, 當年我們這班年青小伙子還未聽過甚麼是「三高」時, 他已是「三高」齊全, 需長期靠服食藥物來控制, 上星期作了例行身體檢驗, 醫生直言他必須為健康而做點事。

他被醫生強制運動, 即時的問題是要做甚麼運動、多少運動量和運動強度? 對於一個平常不做運動的人, 醫生的建議就是步行。但接著的問題是要行多快、行多遠、行多少時間? 醫生給他的答案很簡單: 因應能力, 能做到多少就做多少, 循序漸進。

群組中的朋友們則各抒己見, 最多人提及的就是「每日一萬步」和Active 10。前者只是一個超過半世紀前的商業產品宣傳口號, 沒有甚麼科學根據, 對於一個素來不做運動的人, 這簡直是要他的命, 後者卻是比較實際的。

Active 10是以急步行走10分鐘, 所謂急步, 是比個人正常的行走速度要快, 但要感覺到氣喘、心跳加速、微微出汗方算及格。但也是因人而異, 以那位朋友為例, 他在上星期最初開始時, 沒有能力走得多快, 更走不了10分鐘就需要休息了。

老實說, 真的要做到連續急步行走10分鐘, 其實也不容易。一般人在街上行走, 視乎身裁, 步幅平均是0.6至0.7米, 少有會在0.8米以上, 步速約為每分鐘80至100步, 就算那些「急急腳」的人, 也只110 至115步而已,。要知道自己的步行速度, 需要知道步速和步幅, 行走速度 =步速 x 步幅。最好的方法是到球場的跑道上, 連續行走2至3圈, 每圈400米, 同時紀錄低步數和時間, 平均值就是步速和步幅了。不可以只計算1分鐘所走的步數、或走100米得出的步幅, 因為會有太「刻意」的效應, 不自然的在短時間內走得很快、或短距離中走得很大步, 數字往往徧高。

在多年前, 與朋友多次參加「百萬行」, 當年的交通沒有現時的繁忙, 路線往往有20公里甚至以上, 沿途有路標顯示路程, 我與朋友每每都做出全程平均時速6公里, 以個人的步幅為0.75米計算, 即以平均步速每分鐘130至135步連續走了3小時以上。如今步幅沒有多大變化, 前幾天在一步行徑上, 連續26分鐘走了3220步, 即平均步速是120至125步, 比30多年前打了個93折, 還不算太壞吧!

至於運動在「八大長壽習慣」中的排行位置, 應不太重要, 起碼做運動比不做好。

為何輪子能省力

有朋友在拙文留言: 「個仔唔明點解用轆可以慳力, 只知轆住行好過抬」, 意思是「兒子不明白為何用輪子能省力」。

不知道朋友的兒子年齡有多大, 但現時在香港、以至世界各國都在強調STEM教育的重要性, 很高興見到有年青人對科學有興趣。

人類很多發明, 其實都是模仿大自然的生物, 地上的、水中的、空中的, 例子太多了。生物經過漫長的進化過程, 身體結構、運動方式應已達到最優化、最有效率, 人類通過觀察大自然, 模仿、學習,  省卻了不少在研發上的彎路。奇怪的是, 在生物界中, 似乎沒有使用類似輪子的運動方式, 看來輪子是人類的偉大發明。

輪子是由何人、在何時、何地最先發明的, 這裡無意深究, 只想談談基本原理。

現以三種原始方法, 來搬動一件放在一塊木板上的物體, 總質量為M, 搬動距離為D, 比較所需要花的能量。

第一, 以人手將木板連整件物體抬起, 需要花的能量 = M x D。

第二, 將木板在地面上滑動, 在前面拉或在後面推(在此不考慮分力的影響), 需要花的能量是用來抵消木板與地面的摩擦力, 現假定摩擦系數是0.5, 總需要花的能量 = 0.5 x M x D, 已經好過抬著走。

第三, 為木板加上四個輪子, 造成最原始的「車」, 為了只作比較, 不考慮「車」的構件的重量。基本構件是將木板和貨物的重量, 通過輪子中心的圓孔中的圓軸, 傳到輪子上。當「車」移動時, 輪子轉動, 而圓軸卻是固定的, 圓軸與輪子中心的圓孔之間, 出現摩擦力, 需要花的能量是用來抵消這摩擦力, 秘密就在這裡。

現假定輪子中心的圓孔的直徑, 是輪子的直徑的十份之一(0.1), 當輪子轉動了一圈時, 圓孔也轉動了一圈, 作用在圓軸與圓孔之間的摩擦力, 實際運行的距離, 是圓孔的一圈, 亦即是「車」所走的距離的十份之一(0.1) 而已。

為了方便比較, 現假定圓軸與圓孔之間的摩擦系數亦是0.5, 所需要花的能量 = 0.1 x 0.5 x M x D   =0.05 M x D, 是第一方法的0.05, 即二十份之一, 亦是第二方法的0.1, 即十份之一而已, 很明顯用輪子可以省力得多了。

從表面上可以看到, 輪子中心的圓孔中的直徑越小, 摩擦力的實際運行距離就越短, 需要花的能量就越少, 另一方法, 是減低圓軸與圓孔之間的摩擦力, 例如加潤滑油等。在現代的設計, 圓軸與圓孔之間不會有直接接觸, 而是通過軸承, 來大大減低摩擦力和損耗。